Η πρώτη αναφορά της ζιβανίας γίνεται στην Ομήρου Οδύσσεια ως ζίβανον. Ένα δυνατό ποτό που κατανάλωσαν οι κύκλωπες στο νησί των Λαιστρυγώνων. Η επιφερόμενη μέθη ήταν ο λόγος που κατέστρεψαν τα πλοία του Οδυσσέα. Η ονομασία του ποτού προέρχεται από τη λέξη ζίβανα ή ζίβανο με την οποία προσδιορίζονται τα στέμφυλα, δηλαδή τα απομεινάρια των σταφυλιών από τα οποία παράγεται, που ως γνωστό πρόκειται για ένα καθαρά κυπριακό προϊόν.
Πρόκειται ίσως για το εντυπωσιακότερο μύθος, αυτός του Οδυσσέα με τον Κύκλωπα Πολύφημο, έτσι όπως πολεμούσαν. Oι Κύπλωπες ήταν πρωτόγονοι που πετούσαν πέτρες για να βουλιάξουν τα πλοία.
Αρχικά, οι Ιθακήσιοι άραξαν τα πλοία τους σ’ ένα μικρό νησάκι, κοντά στο λιμάνι της χώρας των Κυκλώπων. Ένα νησί απάτητο, γιατί οι Κύκλωπες δε γνώριζαν την τέχνη της ναυσιπλοΐας, ώστε να φτάσουν εκεί, ήταν γεμάτο με δέντρα και κοπάδια από γίδες. Το χώμα ήταν πολύ εύφορο, μα κανένας δεν υπήρχε να το καλλιεργήσει. Έφτασαν στο μικρό λιμανάκι του νησιού νύχτα. Μόλις βγήκαν στη στεριά κατασκήνωσαν στην ακρογιαλιά να ξαποστάσουν και να κοιμηθούν.
Μόλις ξημέρωσε η αυγή, ο Οδυσσέας αποφάσισε να πάει στην απέναντι ακτή και να εξερευνήσει την περιοχή, μα μόνο με το δικό του πλοίο. Οι υπόλοιποι, έδωσε εντολή, να περιμένουν στο νησάκι. Σαν έφτασαν στην ακρογιαλιά έμειναν έκπληκτοι απ’ αυτό που αντίκρισαν. Υπήρχε εκεί κοντά μια σπηλιά και γύρω γύρω κοπάδια γιδοπρόβατα. Η αυλή ήταν φραγμένη με τεράστιες πέτρες, μεγάλα πεύκα και ψηλές βελανιδιές. Μέσα καθόταν ένα τεράστιο πλάσμα, αλλόκοτο και φοβερό. Αυτός ήταν ο Κύκλωπας Πολύφημος, ο γιος του Ποσειδώνα καθόταν μόνος του και έβοσκε τα κοπάδια του.
Η ιστορία γνωστή με τον Πολύφημο να τρώει τους συντρόφους του Οδυσσέα και αυτός με τη σειρά του τον τραυματίζει σοβαρά. Οι υπόλοιποι Κύκλωπες ξύπνησαν από τις άγριες φωνές και πήγαν έξω από την κατοικία του Πολύφημου, τον ρωτούσαν τι έπαθε και ξεσήκωνε τον κόσμο τέτοια ώρα, όταν τους απαντούσε ότι με απάτη τον τύφλωσε ο «Κανένας» (αυτό του είχε πει ο Οδυσσέας ότι ήταν το όνομα του), τ’ αδέρφια του ξέσπασαν σε γέλια και του είπαν να τους αφήσει ήσυχους, αφού «κανένας» δεν τον ενοχλούσε.
